Elastic contact of equal spheres under oblique forces

by Juergen Jaeger, Blattwiesenstr. 7, D-76227 Karlsruhe, Germany

Contact Mechanics International Symposium, Ed.: A. Curnier, Proceedings, October 7 - 9, 1992, Lausanne, Presses  polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, Switzerland, pp. 508

email: j_jaeger@t-online.de

Summary: An investigation is made of the phenomena occurring at the
contact of elastic spheres, subjected to forces with varying tangential component,
in one direction, with changing sign, and varying normal component. The
contact law is based on the assumption, introduced by H. Hertz [3], that both
bodies behave physically like elastic half-spaces. We assume constant stress
directions in the slip area in order to use so-called Cattaneo-Mindlin functions
to solve the tangential boundary value problem. The stress distribution of the
Cattaneo-Mindlin theory [2], [8] is rotational symmetric and has a typical break
at the border of the stick area at r_o=a₁*, for a₁*<a₁ , with the radius a₁* of the stick
area and the radius a₁ of the contact area. The general solution of the
tangential contact problem can be written as a sum of Cattaneo-Mindlin
functions. The appropriate superposition of two Cattaneo-Mindlin functions
yields a new Cattaneo-Mindlin function, which simplifies the calculation of the
force and the displacement. We will arrive at a formula for the force-displace
ment relation of general load-histories, which can be reduced to the compliances
of Mindlin & Deresiewicz [9] by differentiation. In contrast to Mindlin & Dere
siewicz our formula depends only on the points of instantaneous adhesion P_i, for
1<=i<=N-1, and the current displacements x_N, z_N in tangential and normal
direction of the initial contact point, which simplifies the solution. It also allows
a generalization for oblique load-histories with elliptical contact areas and
tangential forces in varying directions [4]. Finally an algorithm is given, which
determines the essential number of Cattaneo-Mindlin functions.
 

 Elastischer Kontakt gleicher Kugeln unter schiefen Kräften

Übersicht: Es werden die Phänomene untersucht, die beim Kontakt elastischer
Kugeln unter der Einwirkung von Kräften mit veränderlicher, unidirektionaler
Tangentialkomponente mit veränderlichem Vorzeichen und veränderlicher
Normalkomponente, auftreten. Das Kontaktgesetz beruht auf der von H. Hertz
[3] eingeführten Annahme, daß sich beide Körper physikalisch wie elastische
Halbräume verhalten. Wir nehmen konstante Spannungsrichtungen im Gleitge
biet an, um mithilfe sogenannter Cattaneo-Mindlin Funktionen das tangentiale
Randwertproblem zu lösen. Die Spannungsverteilung der Cattaneo-Mindlin-
Theorie [2], [8] ist rotationssymmetrisch und hat einen typischen Knickpunkt am
Rand des Haftgebiets an der Stelle r_o=a₁*, für a₁*<a₁, mit dem Radius a₁* des
Haftgebiets und dem Radius a₁ des Kontaktgebiets. Die allgemeine Lösung des
tangentialen Kontaktproblems kann als eine Summe von Cattaneo-Mindlin
Funktionen dargestellt werden. Die geeignete Überlagerung von zwei Cattaneo-
Mindlin Funktionen ergibt eine neue Cattaneo-Mindlin Funktion, was die
Berechnung der Kraft und der Verschiebung beträchtlich vereinfacht. Wir leiten
eine Formel für die Kraft-Verschiebungs Beziehung bei allgemeinen Belastungs
geschichten her, die durch Differentiation auf die Nachgiebigkeiten von Mindlin
& Deresiewicz [9] reduziert werden kann. Im Gegensatz zu Mindlin &
Deresiewicz hängt unsere Formel nur von den Punkten momentanen Haftens Pi
(für 1<=i<=N-1 ) und von den aktuellen Verschiebungen x_N und z_N in tangentialer
und normaler Richtung des anfänglichen Kontaktpunktes ab, was die Lösung
vereinfacht. Es ermöglicht auch eine Verallgemeinerung für schiefe Belastungs
geschichten mit elliptischen Kontaktgebieten und Tangentialkräften mit
veränderlicher Richtung [4]. Schließlich wird ein Algorithmus angegeben,
welcher die notwendige Zahl von Cattaneo-Mindlin Funktionen bestimmt.

 References

1. Barber, J. R.: Adhesive contact during the oplique impact of elastic spheres.
Journal of Applied Mechanics and Physics, ZAMP, Vol. 30, 1979, 468-
476.

 2. Cattaneo, C.: Sul Contatto die due corpi elastici: distributione locale degli
sforzi. Academia Nationale dei Lincei, Rendiconti, Serie 6, Vol. 27, 1938,
342-348, 434-436, 474-478.

 3. Hertz, H.: šber die Berührung fester elastischer Körper. Journal für die
reine und die angewandte Mathematik (Crelle), 92, 1882, 156-171.

 4. Jaeger, J.: Elastic impact with friction. Thesis, Delft, The Netherlands, to
appear in November 1992.

5. Johnson, K. L.: Contact Mechanics. Cambridge (UK), Cambridge University
Press, 1985.

 6. Kalker, J. J.: Three-dimensional elastic bodies in rolling contact. Dordrecht,
Boston, London, Kluwer Academic Publishers, 1990, ISBN 0-7923-0712-7.

 7. Klarbring, A.: (Non-)uniqueness and (non-)existence of frictional rate
problems. Euromech Colloquium 273: Unilateral Contact and Dry Friction,
La Grande Motte, France, May 29 - June 1, 1990.

 8. Mindlin R. D.: Compliance of elastic bodies in contact, Journal of Applied
Mechanics, Vol. 16, 1949, 259-268.

9. Mindlin R. D.; Deresiewicz H.: Elastic spheres in contact under varying
oblique forces, Journal of Applied Mechanics, Vol. 20, 1953, 327-344.