Axi-symmetric bodies of equal material in contact under torsion or shift

by J. Jäger,  Blattwiesenstr. 7,  D-76227 Karlsruhe, Germany

Arch. Appl. Mech., 1995, Vol. 65, no. 7, pp. 478-487

email: j_jaeger@t-online.de

Summary: Two  axi-symmetric bodies are pressed together, so that their axes of symmetry coincide with the contact normal in their common tangent plane, and, subsequently, the normal force is held constant. Afterwards, either a small torsional  couple about the contact normal or a small tangential force in perpendicular direction is applied. For bodies of equal material, the normal and tangential stress state is uncoupled and can be solved separately. The surfaces of both bodies is thougt as an infinitesimal superposition of rigid flat-ended punches. Consequently, the stress distribution can be calculated as a summation of differential flat punch solutions, so that a formula results which is  identical with the solution of Green and Collins. After application of a torsional couple, an annular sliding area forms at the border of the contact area, and, for reasons of symmetry, the common displacement of the inner stick  area must be a rigid body rotation. Similarly to the normal problem, the solution can be thought as a superposition of rigid punch rotations, and the tangential solution can be derived analogically in form of a superposition of  rigid punch displacements. The present method also solves the problem of simultaneous normal and torsional loading, or tangential loading resp., with complete adhesion. As example, Steuermann's problem for polynomial surfaces of  the form A_2nr²ⁿ is solved. The solutions for constant normal forces of this paper can be used as basic functions for loading histories with varying normal and tangential forces, as shown in earlier publications.

Rotationskörper aus gleichen Materialien in Kontakt unter Torsion oder Verschiebung

 Übersicht: Zwei Rotationskörper werden so in Kontakt gebracht, daß ihre Symmetrieachsen mit der Kontaktnormalen in der gemeinsamen Tangentialebene zusammenfallen und anschließend wird die Normalkraft konstantgehalten. Danach wird entweder ein kleines Torsionsmoment um die Kontanktnormale oder eine kleine Tangentialkraft senkrecht dazu aufgebracht. Für Körper aus gleichen Materialien sind die Spannungszustände in Normalenrichtung und Tangentialrichtung entkoppelt und können separat bestimmt werden. Die Oberfläche beider Körper kann als Überlagerung von starren flachen Stempeln dargestellt werden. In diesem Fall kann die Spannungsverteilung als eine Summe von differentiellen flachen Stempeln berechnet werden, woraus sich eine Formel ergibt, die mit der Lösung von Green und Collins identisch ist. Wenn ein Torsionsmoment aufgebracht wird, bildet sich ein ringförmiges Gleitgebiet am Rande des Kontakt gebiets aus und aus Symmetriegründen muß die gemeinsame Verschiebung des Haftgebietes eine Starrkörperrotation sein. Ähnlich wie beim Normalproblem kann die Lösung des Torsionsproblems als Überlagerung von Starrkörperdrehungen dargestellt werden und auch die Lösung des Tangentialproblems kann entsprechend als Überlagerung von Starrkörperverschiebungen hergeleitet werden. Mit der vorgestellten Methode kann man auch das Problem der simultanen Normal- und Torsionsbelastung, bzw. Normal- und Tagentialverschiebung bei vollständigem Haften herleiten. Als Beispiel wird Steuermanns Problem für Oberflächen in Form eines Polynoms A_2nr²ⁿ gelöst. Die Lösungen für konstante Normalkräfte in diesem Artikel können als Basisfunktionen für Belastungsgeschichten mit veränderlichen Normal- und Tangentialkräften verwendet werden, wie in früheren Veröffentlichungen gezeigt wurde.